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Copula-GARCH模型下的两资产期权定价

Copula-GARCH模型下的两资产期权定价

一、引言

C opula 函数作为一种新的度量多变量之间的相关结构的工具已受到众多学者的关注,并在金融领域已得到广泛应用,自 Embrechts 等首次将 copula 函数引用到风险管理领域以来,国内外已有大量的文献对 copula 在金融中的应用做了广泛的研究。例如,吴振翔等运用 Archimedean Copula 对基于 VaR 的外汇投资组合构建问题进行了深入研究; Goorbergh 等利用 copula 函数的参数与秩相关系数 Kendall 之间建立了一一对应关系,建立了 copula-GARCH 模型,研究了双标的最优认购期权的定价问题 [ 1 ] 。本文运用 copula 函数建立了投资组合之间的联合分布,并得到了在一定概率下的收益率。

在得到投资组合的联合分布之后, 如何 进行量化的描述投资组合的风险也是学术界较为关注的问题。 在 实际中人们往往更为关注大的损失, 也就是 尾部风险, 而 VaR 就是描述尾部风险的一种很好的方法,目前金融机构都在使用 VaR 方法管理投资组合的风险 [ 2 ] [3] 。

假设 联合分布函数 ,其边际分布函数分别为: ,

均服从 [0,1] 上的均匀分布,则 < >的联合分布就称为 copula Copula-GARCH模型下的两资产期权定价 。

在 copula 中最主要的是椭圆 copula 和 Archimedean copula ,其中椭圆 copula 包括正态 copula 和 t copula, Archimedean copula 包括 Frank copula 、 Clayton copula 和 Gumbel copula [4] 。

正态 copula 函数由多元正态分布函数得出, 即 Copula-GARCH模型下的两资产期权定价 。其中 为 元标准正态分布的联合分布函数; 为单一变量的标准正态分布函数。

二元正态 copula 函数 的表达式为:

t copula 函数是多元 t 分布的联合分布函数, t 分布函数是由卡方分布和多元正态分布(卡方分布和多元正态分布相互独立 ) 构造得到, t copula Copula-GARCH模型下的两资产期权定价 函数的形式如下:

其中 为随机向量 的分布函数, 为自由度为 的卡方分布, 为多元正态分布, 其 相关系数矩阵为 , 为 。

二元 t copula 的 表达式为:

(3) 二元 Frank copula 函数

二元 Frank copula 的表达式为: , 其中 。

(4) 二元 Clayton copula 函数

二元 Clayton copula 函数是阿基米德 copula 函数中较为常用的一种,

(5) Gumbel copula 函数

二元 Gumbel copula 的表达式为: , 其中

我们选用 VaR 指标来度量投资组合的风险 Copula-GARCH模型下的两资产期权定价 [ 5 ] 。以 表示金融资产的损失函数, 对于一个给定的 , 置信水平 下 的 VaR 定义 [ 6 ] 为 :

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